Закон гука сопротивление материалов. Закон гука определение и формула. Закон Гука и условие его выполнения
8.2. Основные законы, используемые в сопротивлении материалов
Соотношения статики. Их записывают в виде следующих уравнений равновесия.
Закон Гука (1678 год): чем больше сила, тем больше деформация, причем, прямо пропорционально силе . Физически это означает, что все тела это пружины, но с большой жесткостью. При простом растяжении бруса продольной силой N = F этот закон можно записать в виде:
Здесь
продольная сила,l
- длина бруса, А
- площадь его поперечного сечения, Е
- коэффициент упругости первого рода
(модуль Юнга
).
С учетом формул
для напряжений и деформаций, закон Гука
записывают следующим образом:
.
Аналогичная связь наблюдается в экспериментах и между касательными напряжениями и углом сдвига:
.
G
называют
модулем
сдвига
,
реже – модулем упругости второго рода.
Как и любой закон, имеет предел применимости
и закон Гука. Напряжение
,
до которого справедлив закон Гука,
называетсяпределом
пропорциональности
(это
важнейшая характеристика в сопромате).
Изобразим зависимость
от
графически (рис.8.1). Эта картина называется
диаграммой
растяжения
.
После точки В (т.е. при
)
эта зависимость перестает быть
прямолинейной.
При
после разгрузки в теле появляются
остаточные деформации, поэтомуназываетсяпределом
упругости
.
При достижении напряжением величины σ = σ т многие металлы начинают проявлять свойство, которое называется текучестью . Это означает, что даже при постоянной нагрузке материал продолжает деформироваться (то есть ведет себя как жидкость). Графически это означает, что диаграмма параллельна абсциссе (участок DL). Напряжение σ т, при котором материал течет, называется пределом текучести .
Некоторые материалы (Ст.3 - строительная сталь) после непродолжительного течения снова начинают сопротивляться. Сопротивление материала продолжается до некоторого максимального значения σ пр, в дальнейшем начинается постепенное разрушение. Величина σ пр - называется пределом прочности (синоним для стали: временное сопротивление, для бетона – кубиковая или призменная прочность). Применяют также и следующие обозначения:
=R b
Аналогичная зависимость наблюдается в экспериментах между касательными напряжениями и сдвигами.
3) Закон Дюгамеля – Неймана (линейного температурного расширения):
При наличии перепада температур тела изменяют свои размеры, причем прямо пропорционально этому перепаду температур.
Пусть
имеется перепад температур
.
Тогда этот закон имеет вид:
Здесь α - коэффициент линейного температурного расширения , l - длина стержня, Δ l - его удлинение.
4) Закон ползучести .
Исследования показали, что все материалы сильно неоднородны в малом. Схематическое строение стали изображено на рис.8.2.
Некоторые из
составляющих обладают свойствами
жидкости, поэтому многие материалы под
нагрузкой с течением времени получает
дополнительное удлинение
(рис.8.3.) (металлы при высоких температурах,
бетон, дерево, пластики – при обычных
температурах). Это явление называетсяползучестью
материала.
Для жидкости справедлив закон: чем больше сила, тем больше скорость движения тела в жидкости . Если это соотношение линейно (т.е. сила пропорциональна скорости), то можно записать его в виде:
Е
сли
перейти к относительным силам и
относительным удлинениям, то получим
Здесь индекс « cr » означает, что рассматривается та часть удлинения, которая вызвана ползучестью материала. Механическая характеристика называется коэффициентом вязкости.
Закон сохранения энергии.
Рассмотрим нагруженный брус
Введем понятие перемещения точки, например,
- вертикальное перемещение точки В;
- горизонтальное смещение точки С.
Силы
при этом совершают некоторую работуU
.
Учитывая, что силы
начинают возрастать постепенно и
предполагая, что возрастают они
пропорционально перемещениям, получим:
.
Согласно закону сохранения: никакая работа не исчезает, она тратится на совершение другой работы или переходит в другую энергию (энергия – это работа, которую может совершить тело.).
Работа сил
,
тратится на преодоление сопротивления
упругих сил, возникающих в нашем теле.
Чтобы подсчитать эту работу учтем, что
тело можно считать состоящим из малых
упругих частиц. Рассмотрим одну из них:
Со стороны соседних
частиц на него действует напряжение
.
Равнодействующая напряжений будет
Под действием частица удлинится. Согласно определению относительное удлинение это удлинение на единицу длины. Тогда:
Вычислим работу dW , которую совершает сила dN (здесь также учитывается, что силы dN начинают возрастать постепенно и возрастают они пропорциональны перемещениям):
Для всего тела получим:
.
Работа W , которую совершило , называютэнергией упругой деформации.
Согласно закону сохранения энергии:
6)Принцип возможных перемещений .
Это один из вариантов записизакона сохранения энергии.
Пусть на брус
действуют силы F
1
,
F
2
,
…
. Они
вызывают в теле перемещения точки
и напряжения
.
Дадим телудополнительные
малые возможные перемещения
.
В механике запись вида
означает
фразу «возможное значение величиныа
». Эти
возможные перемещения вызовут в теле
дополнительные
возможные деформации
.
Они приведут к появлению дополнительных
внешних сил и напряжений
,
δ.
Вычислим работу внешних сил на дополнительных возможных малых перемещениях:
Здесь
- дополнительные перемещения тех точек,
в которых приложены силыF
1
,
F
2
,
…
Рассмотрим снова малый элемент с поперечным сечением dA и длиной dz (см. рис.8.5. и 8.6.). Согласно определению дополнительное удлинение dz этого элемента вычисляется по формуле:
dz = dz.
Сила растяжения элемента будет:
dN = (+δ) dA ≈ dA ..
Работа внутренних сил на дополнительных перемещениях вычисляется для малого элемента следующим образом:
dW = dN dz = dA dz = dV
С
уммируя
энергию деформации всех малых элементов
получим полную энергию деформации:
Закон сохранения энергии W = U дает:
.
Это соотношение и называется принципом возможных перемещений (его называют также принципом виртуальных перемещений). Аналогично можно рассмотреть случай, когда действуют еще и касательные напряжения. Тогда можно получить, что к энергии деформации W добавится следующее слагаемое:
Здесь - касательное напряжение, -сдвиг малого элемента. Тогда принцип возможных перемещений примет вид:
В отличие от предыдущей формы записи закона сохранения энергии здесь нет предположения о том, что силы начинают возрастать постепенно, и возрастают они пропорционально перемещениям
7) Эффект Пуассона.
Рассмотрим картину удлинения образца:
Явление укорочения элемента тела поперек направления удлинения называется эффектом Пуассона .
Найдем продольную относительную деформацию.
Поперечная относительная деформация будет:
Коэффициентом Пуассона называется величина:
Для изотропных материалов (сталь, чугун, бетон) коэффициент Пуассона
Это означает, что в поперечном направлении деформация меньше продольной.
Примечание
:
современные технологии могут создать
композиционные материалы, у которых
коэффициент Пуассон >1, то есть
поперечная деформация будет больше,
чем продольная. Например, это имеет
место для материала, армированного
жесткими волокнами под малым углом
<<1
(см. рис.8.8.). Оказывается, что коэффициент
Пуассона при этом почти пропорционален
величине
,
т.е. чем меньше,
тем больше коэффициент Пуассона.
Рис.8.8. Рис.8.9
Еще более удивительным является материал, приведенный на (рис.8.9.), причем для такого армирования имеет место парадоксальный результат – продольное удлинение ведет к увеличению размеров тела и в поперечном направлении.
8) Обобщенный закон Гука.
Рассмотрим элемент, который растягивается в продольном и поперечном направлениях. Найдем деформацию, возникающую в этих направлениях.
Вычислим деформацию , возникающую от действия:
Рассмотрим деформацию от действия , которая возникает в результате эффекта Пуассона:
Общая деформация будет:
Если действует и
,
то добавиться еще одно укорочение в
направлении осиx
.
Следовательно:
Аналогично:
Эти соотношения называются обобщенным законом Гука.
Интересно, что при записи закона Гука делается предположение о независимости деформаций удлинения от деформаций сдвига (о независимости от касательных напряжений, что одно и то же) и наоборот. Эксперименты хорошо подтверждают эти предположения. Забегая вперед, отметим, что прочность напротив сильно зависит от сочетания касательных и нормальных напряжений.
Примечание: Приведенные выше законы и предположения подтверждаются многочисленными прямыми и косвенными экспериментами, но, как и все другие законы, имеют ограниченную область применимости.
При растяжении и сжатии стержня изменяются его длина и размеры поперечного сечения. Если мысленно выделить из стержня в недеформированном состоянии элемент длиной dx, то после деформации его длина будет равна dx { (рис. 3.6). При этом абсолютное удлинение по направлению оси Ох будет равно
а относительная линейная деформация е х определяется равенством
Поскольку ось Ох совпадает с осью стержня, вдоль которой действуют внешние нагрузки, назовем деформацию е х продольной деформацией, у которой в дальнейшем индекс будем опускать. Деформации в направлениях, перпендикулярных к оси, называются поперечными деформациями. Если обозначить через b характерный размер поперечного сечения (рис. 3.6), то поперечная деформация определяется соотношением
Относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Установлено, что поперечные и продольные деформации при центральном растяжении и сжатии стержня связаны между собой зависимостью
Входящая в это равенство величина v называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Этот коэффициент является одной из основных постоянных упругости материала и характеризует его способность к поперечным деформациям. Для каждого материала он определяется из опыта на растяжение или сжатие (см. § 3.5) и вычисляется по формуле
Как следует из равенства (3.6), продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные знаки, что является подтверждением очевидного факта - при растяжении размеры поперечного сечения уменьшаются, а при сжатии увеличиваются.
Для различных материалов коэффициент Пуассона различен. Для изотропных материалов он может принимать значения в пределах от 0 до 0,5. Например, для пробкового дерева коэффициент Пуассона близок к нулю, а для резины он близок к 0,5. Для многих металлов при нормальных температурах величина коэффициента Пуассона находится в пределах 0,25+0,35.
Как установлено в многочисленных экспериментах, для большинства конструкционных материалов при малых деформациях между напряжениями и деформациями существует линейная связь
Этот закон пропорциональности впервые был установлен английским ученым Робертом Гуком и называется законом Гука.
Входящая в закон Гука постоянная Е называется модулем упругости. Модуль упругости является второй основной постоянной упругости материала и характеризует его жесткость. Поскольку деформации являются безразмерными величинами, из (3.7) следует, что модуль упругости имеет размерность напряжения.
В табл. 3.1 приведены значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для различных материалов.
При проектировании и расчетах конструкций наряду с вычислением напряжений необходимо также определять перемещения отдельных точек и узлов конструкций. Рассмотрим способ вычисления перемещений при центральном растяжении и сжатии стержней.
Абсолютное удлинение элемента длиной dx (рис. 3.6) согласно формуле (3.5) равно
Таблица 3.1
Наименование материала |
Модуль упругости, МПа |
Коэффициент Пуассона |
Сталь углеродистая |
||
Сплавы алюминия |
||
Сплавы титана |
||
(1,15-s-1,6) 10 5 |
||
вдоль волокон |
(0,1 ^ 0,12) 10 5 |
|
поперек волокон |
(0,0005 + 0,01)-10 5 |
|
(0,097 + 0,408) -10 5 |
||
Кладка из кирпича |
(0,027 +0,03)-10 5 |
|
Стеклопластик СВАМ |
||
Текстолит |
(0,07 + 0,13)-10 5 |
|
Резина на каучуке |
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до х, получим
где и(х ) - осевое перемещение произвольного сечения (рис. 3.7), а С= и(0) - осевое перемещение начального сечения х = 0. Если это сечение закреплено, то и(0) = 0 и перемещение произвольного сечения равно
Удлинение или укорочение стержня равно осевому перемещению его свободного торца (рис. 3.7), величину которого получим из (3.8), приняв х = 1:
Подставив в формулу (3.8) выражение для деформации? из закона Гука (3.7), получим
Для стержня из материала с постоянным модулем упругости Е осевые перемещения определяются по формуле
Входящий в это равенство интеграл можно вычислить двумя способами. Первый способ заключается в аналитической записи функции а(х) и последующем интегрировании. Второй способ основан на том, что рассматриваемый интеграл численно равен площади эпюры а на участке . Вводя обозначение
Рассмотрим частные случаи. Для стержня, растягиваемого сосредоточенной силой Р (рис. 3.3, а), продольная сила./Vпостоянна по длине и равна Р. Напряжения а согласно (3.4) также постоянны и равны
Тогда из (3.10) получаем
Из этой формулы следует, что если напряжения на некотором участке стержня постоянны, то перемещения изменяются по линейному закону. Подставляя в последнюю формулу х = 1, найдем удлинение стержня:
Произведение EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии. Чем больше эта величина, тем меньше удлинение или укорочение стержня.
Рассмотрим стержень, находящийся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.8). Продольная сила в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии х от закрепления, равна
Разделив N на F, получим формулу для напряжений
Подставляя это выражение в (3.10) и интегрируя, находим
Наибольшее перемещение, равное удлинению всего стержня, получим, подставив в (3.13)х = /:
Из формул (3.12) и (3.13) видно, что если напряжения линейно зависят отх, то перемещения изменяются по закону квадратной параболы. Эпюры N, о и и показаны на рис. 3.8.
Общая дифференциальная зависимость, связывающая функции и(х) и а(х), может быть получена из соотношения (3.5). Подставляя в это соотношение е из закона Гука (3.7), найдем
Из этой зависимости следуют, в частности, отмеченные в рассмотренных выше примерах закономерности изменения функции и(х).
Кроме того, можно заметить, что если в каком-либо сечении напряжения а обращаются в нуль, то на эпюре и в этом сечении может быть экстремум.
В качестве примера построим эпюру и для стержня, изображенного на рис. 3.2, положив Е- 10 4 МПа. Вычисляя площади эпюры о для различных участков, находим:
сечение х = 1 м:
сечение х = 3 м:
сечение х = 5 м:
На верхнем участке стержня эпюра и представляет собой квадратную параболу (рис. 3.2, е). При этом в сечении х = 1 м имеется экстремум. На нижнем участке характер эпюры является линейным.
Общее удлинение стержня, которое в данном случае равно
можно вычислить, воспользовавшись формулами (3.11) и (3.14). Поскольку нижний участок стержня (см. рис. 3.2, а) растягивается силой Р { его удлинение согласно (3.11) равно
Действие силы Р { передается также и на верхний участок стержня. Кроме того, он сжимается силой Р 2 и растягивается равномерно распределенной нагрузкой q. В соответствии с этим изменение его длины вычисляется по формуле
Суммируя значения А/, и А/ 2 , получим тот же результат, что приведен выше.
В заключение следует отметить, что, несмотря на малую величину перемещений и удлинений (укорочений) стержней при растяжении и сжатии, пренебрегать ими нельзя. Умение вычислять эти величины важно во многих технологических задачах (например, при монтаже конструкций), а также для решения статически неопределимых задач.
Наблюдения показывают, что для большинства упругих тел, таких, как сталь, бронза, дерево и др., величины деформаций пропорциональны величинам действующих сил. Типичный пример, поясняющий это свойство, представляют пружинные весы, у которых удлинение пружины пропорционально действующей силе. Это видно из того, что шкала делений у таких весов равномерна. Как общее свойство упругих тел закон пропорциональности между силой и деформацией был впервые сформулирован Р. Гуком в 1660 г. и опубликован в 1678 г. в сочинении «De potentia restitutiva». В современной формулировке этого закона рассматривают не силы и перемещения точек их приложения, а напряжение и деформацию.
Так, для чистого растяжения полагают:
Здесь - относительное удлинение любого отрезка, взятого в направлении растяжения. Например, если ребра изображенной на рис. 11 призмы до приложения нагрузки были а, b и с, как показано на чертеже, а после деформации они будут соответственно , тогда .
Постоянная Е, имеющая размерность напряжения, называется модулем упругости, или модулем Юнга.
Растяжение элементов, параллельных действующим напряжениям о, сопровождается сокращением перпендикулярных элементов, то есть уменьшением поперечных размеров стержня (на чертеже - размеры ). Относительная поперечная деформация
будет величиной отрицательной. Оказывается, что продольная и поперечная деформации в упругом теле связаны постоянным отношением:
Безразмерная величина v, постоянная для каждого материала, называется коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Сам Пуассон, исходивший из теоретических соображений, которые оказались впоследствии неверными, считал, что для всех материалов (1829). На самом деле значения этого коэффициента различны. Так, для стали
Заменяя в последней формуле выражением получим:
Закон Гука не является точным законом. Для стали отклонения от пропорциональности между незначительны, тогда как чугун или резнна явно этому закону не подчиняются. Для них причем может быть аппроксимирована линейной функцией разве лишь в самом грубом приближении.
В течение долгого времени сопротивление материалов занималось лишь материалами, подчиняющимися закону Гука, и приложение формул сопротивления материалов к другим телам можно было делать только с большой натяжкой. В настоящее время нелинейные законы упругости начинают изучаться и применяться к решению конкретных задач.